女大一，抱金雞； 女大二，銀滿罐； 女大三，抱金磚； 女大四，生兒子； 女大五，賽老母； 女大六，樂不夠； 女大七，笑嘻嘻； 女大八，準(zhǔn)發(fā)家； 女大九，樣樣有； 女大十，樣樣值。

抱一塊

水

朋友，我不是賣藥的

1、化為一個三角函數(shù)。如：f(x)=sinx＋√3cosx=2sin(x＋π/3)最大值是2，最小值是－22、利用換元法化為二次函數(shù)。如：f(x)=cosx＋cos2x =cosx＋2cos2x－1 =2t2＋t－1 【其中t=cosx∈[－1，1]】則f(x)的最大值是當(dāng)t=cosx=1時取得的，是2，最小值是當(dāng)t=cosx=－1/4時取得的，是－9/8

三角函數(shù)最值是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容,加強(qiáng)這一內(nèi)容的教學(xué)有助于學(xué)生進(jìn)一步掌握已經(jīng)學(xué)過的三角知識,溝通三角,代數(shù),幾何之間的聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力. 本文介紹三角函數(shù)最值問題的一些常見類型和解題方法. 一,利用三角函數(shù)的有界性 利用三角函數(shù)的有界性如|sinx|≤1,|cosx|≤1來求三角函數(shù)的最值. [例1]a,b是不相等的正數(shù). 求y=的最大值和最小值. 解:y是正值,故使y2達(dá)到最大(或最小)的x值也使y達(dá)到最大(或最小). y2=acos2x+bsin2x+2·+asin2x+bcos2x =a+b+ ∵a≠b,(a-b)2>0,0≤sin22x≤1 ∴當(dāng)sin2x=±1時,即x=(k∈z)時,y有最大值; 當(dāng)sinx=0時,即x= (k∈z)時,y有最小值+. 二,利用三角函數(shù)的增減性 如果f(x)在[α,β]上是增函數(shù),則f(x)在[α,β]上有最大值f(β),最小值f(α);如果f(x)在[α,β]上是減函數(shù),則f(x)在[α,β]上有最大值f(α),最小值f(β). [例2]在0≤x≤條件下,求y=cos2x-sinxcosx-3sin2x的最大值和最小值. 解:利用二倍角余弦公式的變形公式,有 y=-2sin2x-3·=2(cos2x-sin2x)-1 =2 (cos2xcos-sin2xsin)-1 =2cos(2x+)-1 ∵0≤x≤,≤2x+≤ cos(2x+)在[0,)上是減函數(shù) 故當(dāng)x=0時有最大值 當(dāng)x=時有最小值-1 cos(2x+)在[,]上是增函數(shù) 故當(dāng)x=時,有最小值-1 當(dāng)x=時,有最大值- 綜上所述,當(dāng)x=0時,ymax=1 當(dāng)x=時,ymin=-2-1 三,換元法 利用變量代換,我們可把三角函數(shù)最值問題化成代數(shù)函數(shù)最值問題求解. [例3]求f(x)=sin4x+2sin3xcosx+sin2xcos2x+2sinxcos3x+cos4x的最大值和最小值. 解:f(x)=(sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+2sinxcosx(sin2x+cos2x)+sin2xcos2x =1+2sinxcosx-sin2xcos2x 令t=sin2x ∴-≤t≤ ① f(t)=1+2t-t2=-(t-1)2+2 ② 在①的范圍內(nèi)求②的最值 當(dāng)t=,即x=kπ+(k∈z)時,f(x)max= 當(dāng)t=-,即x=kπ+(k∈z)時,f(x)min=- 附:求三角函數(shù)最值時應(yīng)注意的問題 三角函數(shù)最值問題是三角函數(shù)性質(zhì)的重要內(nèi)容之一,也是會考,高考必考內(nèi)容,在求解中欲達(dá)到準(zhǔn)確,迅速,除熟練掌握三角公式外,還應(yīng)注意以下幾點: 一,注意sinx,cosx自身的范圍 [例1]求函數(shù)y=cos2x-3sinx的最大值. 解:y=cos2x-3sinx=-sin2x-3sinx+1=-(sinx+)2+ ∵-1≤sinx≤1, ∴當(dāng)sinx=-1時,ymax=3 說明:解此題易忽視sinx∈[-1,1]這一范圍,認(rèn)為sinx=-時,y有最大值,造成誤解. 二,注意條件中角的范圍 [例2]已知|x|≤,求函數(shù)y=cos2x+sinx的最小值. 解:y=-sin2x+sinx+1=-(sinx-)2+ ∵-≤x≤ ∴-≤sinx≤ ∴當(dāng)sinx=-時 ymin=-(--)2+= 說明:解此題注意了條件|x|≤,使本題正確求解,否則認(rèn)為sinx=-1時y有最小值,產(chǎn)生誤解. 三,注意題中字母(參數(shù))的討論 [例3]求函數(shù)y=sin2x+acosx+a-(0≤x≤)的最大值. 解:∵y=1-cos2x+acosx+a-=-(cosx-)2++a- ∴當(dāng)0≤a≤2時,cosx=,ymax=+a- 當(dāng)a>2時,cosx=1,ymax=a- 當(dāng)a<0時,cosx=0,ymax=a- 說明:解此題注意到參數(shù)a的變化情形,并就其變化討論求解,否則認(rèn)為cosx=時,y有最大值會產(chǎn)生誤解. 四,注意代換后參數(shù)的等價性 [例4]已知y=2sinθcosθ+sinθ-cosθ(0≤θ≤π),求y的最大值,最小值. 解:設(shè)t=sinθ-cosθ=sin(θ-) ∴2sinθcosθ=1-t2 ∴y=-t2+t+1=-(t-)2+ 又∵t=sin(θ-),0≤θ≤π ∴-≤θ-≤ ∴-1≤t≤ 當(dāng)t=時,ymax= 當(dāng)t=-1時,ymin=-1 說明:此題在代換中,據(jù)θ范圍,確定了參數(shù)t∈[-1,],從而正確求解,若忽視這一點,會發(fā)生t=時有最大值而無最小值的結(jié)論. 1.y=asinx+bcosx型的函數(shù) 特點是含有正余弦函數(shù),并且是一次式.解決此類問題的指導(dǎo)思想是把正,余弦函數(shù)轉(zhuǎn)化為只有一種三角函數(shù).應(yīng)用課本中現(xiàn)成的公式即可:y=sin(x+φ),其中tanφ=. 例1.當(dāng)-≤x≤時,函數(shù)f(x)=sinx+cosx的( d ) a,最大值是1,最小值是-1 b,最大值是1,最小值是- c,最大值是2,最小值是-2 d,最大值是2,最小值是-1 分析:解析式可化為f(x)=2sin(x+),再根據(jù)x的范圍來解即可. 2.y=asin2x+bsinxcosx+cos2x型的函數(shù) 特點是含有sinx, cosx的二次式,處理方式是降冪,再化為型1的形式來解. 例2.求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值,并求出y取最小值時的x的集合. 解:y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x =(sin2x+cos2x)+sin2x+2cos2x =1+sin2x+1+cos2x =2+sin(2x+) 當(dāng)sin(2x+)=-1時,y取最小值2-,此時x的集合{x|x=kπ-π, k∈z}. 3.y=asin2x+bcosx+c型的函數(shù) 特點是含有sinx, cosx,并且其中一個是二次,處理方式是應(yīng)用sin2x+cos2x=1,使函數(shù)式只含有一種三角函數(shù),再應(yīng)用換元法,轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)來求解. 例3.求函數(shù)y=cos2x-2asinx-a(a為常數(shù))的最大值m. 解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2+1-a, 令sinx=t,則y=-(t+a)2+a2+1-a, (-1≤t≤1) (1) 若-a1時, 在t=-1時,取最大值m=a. (2) 若-1≤-a≤1,即-1≤a≤1時,在t=-a時,取最大值m=a2+1-a. (3) 若-a>1,即a0, y2=4cos4sin2 =2·cos2·cos2·2sin2 所以0 注:本題的角和函數(shù)很難統(tǒng)一,并且還會出現(xiàn)次數(shù)太高的問題. 6.含有sinx與cosx的和與積型的函數(shù)式. 其特點是含有或經(jīng)過化簡整理后出現(xiàn)sinx+cosx與sinxcosx的式子,處理方式是應(yīng)用 (sinx+cosx)2=1+2sinxcosx 進(jìn)行轉(zhuǎn)化,變成二次函數(shù)的問題. 例6.求y=2sinxcosx+sinx+cosx的最大值. 解:令sinx+cosx=t (-≤t≤),則1+2sinxcosx=t2,所以2sinxcosx=t2-1, 所以y=t2-1+t=(t+)2-, 根據(jù)二次函數(shù)的圖象,解出y的最大值是1+. 相信通過這一歸納整理,大家對有關(guān)三角函數(shù)最值的問題就不會陌生了.并且好多其它的求最值的問題可以通過代換轉(zhuǎn)化成三角求最值的問題.希望同學(xué)們在做有關(guān)的問題時結(jié)合上面的知識.

一次的，可以化成一般的三角函數(shù)SIN, COS TAN 根據(jù)圖象的來找最大值和最小值，（范圍）二次的可以用換元法，變成二次函數(shù)，再用頂點式，在取值范圍內(nèi)找最大值和最小值， 還有就是換元變成對勾函數(shù)的形式都是要與圖象結(jié)合的